Enunciado

Encontre as funções (a) f ∘ g   , (b) g ∘ f , (c) f ∘ f , (d) g ∘ g , e seus domínios

f x = x - 2 ,     g x = x 2 + 3 x + 4

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada duas funções

f x = x - 2 ,     g x = x 2 + 3 x + 4

E nosso objetivo é obter algumas funções compostas a partir dessas duas e seus domínios.

Parece complicado?

Uma função composta é basicamente uma função dentro da outra, ou seja, se tivermos f composta em g vamos pegar a função g e no lugar de x substituir por f .

Maneiro, né?

E para determinar o domínio da função resultante, temos que analisar os valores que a variavel x pode assumir para a função existir

Veja só!

Passo 2

Certo, agora vamos encontrar a primeira composição (a) f ∘ g . Temos que substituir todo x   de f pela função inteira de g , assim:

Se f x = x - 2 e g x = x 2 + 3 x + 4 , então

f x = x - 2 → f g x = g x - 2

f g x = x 2 + 3 x + 4 - 2

f g x = x 2 + 3 x + 2

Com a notação f g x , fica fácil de ver a composição e a ideia de substituir todo x pela função g x = x 2 + 3 x + 4 :

Se f x = x - 2 ,

então

f g x = x 2 + 3 x + 2

Sobre o domínio, não há nenhuma restrição para a função, porque é um polinômio, não há raiz ou denominador. O domínio, então, é conjunto dos números reais.

D o m f g x = x ∈ R

Tudo certo?

Passo 3

Beleza, agora para (b) g ∘ f faremos o mesmo processo de substituição, agora trocando todo x de g pela função de f :

Se f x = x - 2 e g x = x 2 + 3 x + 4 , então

g x = x 2 + 3 x + 4 → g f x = f x 2 + 3 f x + 4

g   o   f = g f x = x - 2 2 + 3 ( x - 2 ) + 4

g   o   f = ( x 2 - 4 x + 4 ) + ( 3 x - 6 ) + 4

g   o   f = x 2 - x + 2

De novo, como a função é polinomial, não temos restrições e o domínio é o conjunto dos números reais.

D o m g f x = x ∈ R

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Beleza, falta agora (c) f ∘ f , temos que trocar os x de f pela função inteira de f :

Se f x = x - 2 , então

f x = x - 2 → f f x = f x - 2

f ∘ f = f f x = x - 2 - 2

f ∘ f = x - 4

De novo, a função é polinomial, não temos restrições e o domínio é o conjunto dos números reais.

D o m f f x = x ∈ R

Estamos quase lá!

Passo 5

Por último, para descobrir (d) g ∘ g , se g x = x 2 + 3 x + 4 , então

g x = x 2 + 3 x + 4 → g g x = g x 2 + 3 g x + 4

g ∘ g = g g x = x 2 + 3 x + 4 2 + 3 x 2 + 3 x + 4 + 4

g ∘ g = x 4 + 6 x 3 + 17 x 2 + 24 x + 16 + 3 x 2 + 9 x + 12 + 4

g ∘ g = x 4 + 6 x 3 + 20 x 2 + 33 x + 32

Poderíamos desenvolver as contas, mas o importante aqui é entender a composição de funções e a troca da variável x   por uma outra função “inteira”.

Agora diga você: função polinomial, sem restrições, domínio é o conjunto dos reais!

D o m g g x = x ∈ R

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. f ∘ g = x 2 + 3 x + 2 ,     D o m f g x = x ∈ R
  2. g ∘ f = x 2 - x + 2 ,     D o m g f x = x ∈ R
  3. f ∘ f =   x - 4 ,     D o m f f x = x ∈ R
  4. g ∘ g = x 4 + 6 x 3 + 20 x 2 + 33 x + 32 ,     D o m g g x = x ∈ R
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