Enunciado

Calcule a integral.

int cos x cos^3 (sen x) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma seno e cosseno, podemos tentar fazer com que u seja igual a seno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sen x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = cos x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int cos x cos^3 (sen x) d x = int cos^3 (u) d u = int cos^2 (u) cos u d u = int (1 - sen^2 u) cos u d u = int cos u - sen^2 u cos u d u = int cos u d u + int - sen^2 u cos u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas separadamente, a primeira é simples, é só usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

Assim:

int cos u d u = sen u + C

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

v = sen u

Vamos agora achar a diferencial de v , derivando:

d v = cos u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int - sen^2 u cos u d u = int - v^2 d v

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int - v^2 d v = - 1 int v^2 d v = - 1 * ((v^(2 + 1))/(2 + 1)) + C = - (v^3)/(3) + C

Passo 3

Vamos agora juntar:

int cos u d u + int - sen^2 u cos u d u = sen u - (v^3)/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int cos x cos^3 (sen x) d x = sen u - (v^3)/(3) + C = sen (sen x) - (sen u^3)/(3) + C = sen (sen x) - (sen^3 (sen x))/(3) + C

Resposta

int cos x cos^3 (sen x) d x = sen (sen x) - (sen^3 (sen x))/(3) + C

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