Calcule a integral.

∫ cos ⁡ x cos 3 ⁡ sen ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma seno e cosseno, podemos tentar fazer com que u seja igual a seno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sen ⁡ x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ cos ⁡ x cos 3 ⁡ sen ⁡ x d x = ∫ cos 3 ⁡ u d u = ∫ cos 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ 1 - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ cos ⁡ u - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ cos ⁡ u d u + ∫ - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas separadamente, a primeira é simples, é só usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Assim:

∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u + C

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

v = sen ⁡ u

Vamos agora achar a diferencial de v , derivando:

d v = cos ⁡ u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ - v 2 d v

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ - v 2 d v = - 1 ∫ v 2 d v = - 1 ∙ v 2 + 1 2 + 1 + C = - v 3 3 + C

Passo 3

Vamos agora juntar:

∫ cos ⁡ u d u + ∫ - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = sen ⁡ u - v 3 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cos ⁡ x cos 3 ⁡ sen ⁡ x   d x = sen ⁡ u - v 3 3 + C = sen ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ u 3 3 + C = sen ⁡ sen ⁡ x - sen 3 ⁡ sen ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ cos ⁡ x cos 3 ⁡ sen ⁡ x   d x = sen ⁡ sen ⁡ x - sen 3 ⁡ sen ⁡ x 3 + C

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