Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 θ

θ = π

Passo 1

Olá, meu grande amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

A gente tem a curva em coordenadas polares:

r = 1 θ

E a gente quer saber a inclinação da reta tangente a essa curva, no ponto θ = π . Alguns pontos importantes sobre estarmos trabalhando em coordenadas polares, é que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E quando a gente fala em inclinação da reta tangente, a gente ta falando de derivadas.

Para encontrarmos a inclinação da reta tangente, basta usarmos a equação 3 desta seção do livro, que é aderivada da curva no ponto de tangência:

d y d x = d y d θ d x d θ

E depois de derivar, é só a gente substituir:

θ = π

E encontrar o valor dessa inclinação.

Passo 2

Vamos derivar x e y em relação a θ

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Como ambas as funções são produtos, vamos usar a regra do produto:

d y d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ

d x d θ = d r d θ c o s θ - r s e n θ

Sendo assim:

d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

Passo 3

Fazemos então primeiro a derivada de r em relação a θ :

d r d θ = d 1 θ d θ = - 1 θ 2

E substituímos na equação do primeiro passo, assim como r:

d y d x = - 1 θ 2 s e n θ + 1 θ c o s θ - 1 θ 2 c o s θ - 1 θ s e n θ

Para θ = π , teremos:

d y d x = - 1 π 2 s e n π + 1 π c o s π - 1 π 2 c o s π - 1 π s e n π

Agora vamos colocar os valores dos senos e cossenos:

d y d x = 0 - 1 π 1 π 2 - 0

Simplificando:

d y d x = - 1 π 1 π 2

d y d x = - π

Resposta

d y d x = - π

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