Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 + 2 cos ⁡ θ , θ = π / 3

Passo 1

Oiii, tudo certinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 1 + 2 cos ⁡ θ

Queremos calcular a reta tangente a essa curva no ponto θ = π / 3 .

Para encontrarmos a inclinação da reta tangente, basta usarmos a equação 3 desta seção do livro:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

Assim, vamos primeiro encontrar quem é d r d θ para, em seguida, encontrarmos a inclinação da reta tangente!!

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Precisamos da derivada de r em relação a θ , que será:

d r d θ = d 1 + 2 c o s θ d θ

Pela soma de derivadas, temos:

d r d θ = d 1 d θ + d 2 c o s θ d θ

A derivada da constante é zero e a derivada do cosseno é o seno negativo, portanto:

d r d θ = - 2 s e n θ

Passo 3

E agora substituímos tanto r quanto a sua derivada na equação do primeiro passo:

d y d x = - 2 s e n θ s e n θ + ( 1 + 2 c o s θ ) c o s θ - 2 s e n θ c o s θ - ( 1 + 2 c o s θ ) s e n θ

Para θ = π / 3 , ficamos com:

d y d x = - 2 s e n π 3 s e n π 3 + 1 + 2 c o s π 3 c o s π 3 - 2 s e n π 3 c o s π 3 - 1 + 2 c o s π 3 s e n π 3

Sabemos que s e n   π 3 = 3 2 e cos ⁡ π 3 = 1 2 , logo:

d y d x = - 2 3 2 3 2 + 1 + 2 1 2 1 2 - 2 3 2 1 2 - 1 + 2 1 2 3 2 ∴

d y d x = - 3 2 + 1 - 3 2 - 3

d y d x = 1 3 3

Resposta

d y d x = 1 3 3

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