1.

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( t cos ⁡ t , t sen ⁡ t ,   t )

t ∈ R

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Resolução
2.

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:

a) x = - 1 + t , y = 2 - t , t ∈ R

c) x = c o s ² t , y = s e n ² t , t ∈ R

f) x = s e n   t , y = c o s 2 t , t ∈ 0 , π 2

Resolução
3.

Esboce a imagem da curva γ   : R → R 2 dada por

γ t = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 , sen 2 ⁡ t - 1

Resolução
4.

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   e t )

t ∈ R +

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Resolução
5.

Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s t = cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   t , com t ∈ 0 ,   2 π .

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Resolução
6.

Dada a curva Γ definida por r t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,   e t ,   t ≥ 0 .

Esboce a curva Γ e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Resolução
7.

Esboce a imagem de γ t = sin ⁡ t , cos 2 ⁡ t + 2 ,   t ∈ R .

Resolução
8.

Esboce a imagem da curva γ   : R → R 2 dada por

γ t = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 , sen 2 ⁡ t - 1

Resolução
9.

Esboce a imagem das seguinte curva plana:

γ t = ln ⁡ t 2 + 1 ,   t 2 + 3   t ∈ R

Resolução
10.

Esboce a imagem da seguinte curva plana:

γ t = tan ⁡ t , 3 sec ⁡ t ,   t ∈ π 2   , 3 π 2

Resolução
11.

A curva C parametrizada por

r t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t , e t ,   t ∈ R

Está contida em

  1. Um cone com vértice no ponto ( 0,0 , 0 )
  2. Um plano
  3. Uma efera com centro no ponto ( 0,0 , 0 )
  4. Um paraboloide
  5. Um cilindro
Resolução
12.

Considere as seguintes afirmações:

  1. A imagem da curva γ 1 t = cos ⁡ 2 t , sin 2 ⁡ t ,   t ∈ R está contida em uma reta.
  2. A imagem da curva γ 2 t = e 2 t , e t ,   t ∈ R é uma parábola.
  3. A imagem da curva γ 3 t = e t + e - t ,   e t - e - t ,   t ∈ R está contida em uma hipérbole.

São corretas apenas as afirmações:

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I   e   I I I
  5. I I   e   I I I
Resolução
13.

Dada a curva

γ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Esboce a curva.

Resolução
14.

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

onde t ≥ 0 .

Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

Resolução
15.

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t  

onde t ≥ 0 .

Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

Resolução
16.

A curva parametrizada por

r t = t 2 cos ⁡ t , t 2 sin ⁡ t , t 2 ,   t ≥ 0

Está contida em:

  1. Um plano
  2. Um paraboloide
  3. Um cone
  4. Um hiperboloide
  5. Um elipsoide
Resolução
17.

Seja ℧   a interseção das regiões A = x ,   y ,   z ; x 2 + y 2 ≤ 1 ,   B = x , y , z ; z ≥ 0   e   C = x , y , z ; z ≥ x 2 + y 2 .

a) As fronteiras de A ,   B   e   C ,   respectivamente, são superfícies quádricas, identifique cada uma delas.

b)Faça um esboço da região ℧ .

Resolução
18.

A imagem da curva γ t = s e n 4 t - 2   s e n 2 t ,   1 - s e n 2 t ,   t ∈ 0 ,   2 π , está melhor representada em

Resolução
19.

A imagem da curva γ t = s e n 2 t - 1 ,   2   s e n 2 t - s e n 4 t ,   t ∈ 0 ,   2 π , está melhor representada em

Resolução
20.

A imagem da curva γ t = 1 - s e n 2 t ,   2   s e n 2 t - s e n 4 t ,   t ∈ 0 ,   2 π , está melhor representada em

Resolução
21.

A imagem da curva γ t = s e n 4 t - 2   s e n 2 t ,   s e n 2 t - 1 ,   t ∈ 0 ,   2 π , está melhor representada em

Resolução
22.

a) Esboce a região D = { ( x , y ) ∈ R 2 | 1 + x 2 ≤ y ≤ 2 + x 2 ,   y ≥ x + x 2 ,   x ≥ 0 } .

b) Efetuando uma mudança de variáveis apropriada, calcular a integral

∬ D e y - x 2 y - x 2 d x   d y  

Dica: considerar u = y - x 2 e determinar v tal que a mudança de variáveis simplifique o domínio de integração.

Resolução

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