Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 e 2 θ - 1 d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = e 2 θ - 1

Derivando dos dois lados:

d u = 1 2 e 2 θ - 1 ∙ e 2 θ - 1 ' d θ = 1 2 e 2 θ - 1 ∙ 2 e 2 θ d θ = e 2 θ e 2 θ - 1   d θ

d u e 2 θ = d θ e 2 θ - 1  

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 1 e 2 θ - 1 d θ = ∫ d u e 2 θ

Lembrando que,

u = e 2 θ - 1 → u 2 = e 2 θ - 1 → e 2 θ = u 2 + 1

Colocando na integral:

∫ d u u 2 + 1

Calculando a integral:

∫ d u 1 + u 2 = arctan ⁡ u

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

arctan ⁡ u = arctan ⁡ e 2 θ - 1 + C

Fim!!!

Resposta

arctan ⁡ e 2 θ - 1 + C

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