8. Calcule

f )   ∫ 3 x + 2 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos começar separando esse integral em duas partes

∫ 3 x + 2 1 + x 2 d x =   ∫ 3 x 1 + x 2 + 2 1 + x 2   d x = ∫ 3 x 1 + x 2 d x + ∫ 2 1 + x 2 d x  

Passo 2

Agora, precisamos resolver essas duas integrais. Começando pela primeira

∫ 3 x 1 + x 2 d x = 3 ∫ x 1 + x 2 d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 1 + x 2 ⇒ d u = 2 x   d x   ⇒ x   d x = d u 2

Substituindo na integral,

3 ∫ x 1 + x 2 d x = 3 ∫ 1 u d u 2 = 3 2 ∫ 1 u d u

Lembrando que ∫ 1 x d x = l n   x + k

3 2 ∫ 1 u d u = 3 2 ln ⁡ u + k =   3 2 ln ⁡ 1 + x 2 + k  

Como 1 + x 2 > 0 , podemos tirar o módulo

3 2 ln ⁡ 1 + x 2 + k =   3 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + k  

Passo 3

Para a segunda integral, vemos que ela é do tipo ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k

∫ 2 1 + x 2 d x =   2 ∫ 1 1 + x 2 d x = 2 tan - 1 ⁡ x + k

Resposta

Portanto,

∫ 3 x + 2 1 + x 2 d x = 3 2 ln ⁡ 1 + x 2 + 2 tan - 1 ⁡ x + k  

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