Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ d z 1 + e z

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mexida nessa integral:

∫ d z 1 + e z = ∫ 1 + e z - e z 1 + e z d z = ∫ - e z 1 + e z + 1 + e z 1 + e z d z = ∫ - e z 1 + e z + 1 d z

Separando em dois termos:

- ∫ e z 1 + e z d z + ∫ d z

Passo 2

Fazendo uma mudança de variável:

u = e z

Derivando dos dois lados:

d u = e z d z

Substituindo na integral:

- ∫ e z 1 + e z d z + ∫ d z = - ∫ 1 1 + e z e z d z + ∫ d z = - ∫ 1 1 + u d u + ∫ d z

Passo 3

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = 1 + u

Derivando dos dois lados:

d w = d u

Substituindo na integral:

- ∫ 1 w d w + ∫ d z

Calculando a integral:

- ln ⁡ w + z

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- ln ⁡ w + z = - ln ⁡ 1 + u + z = - ln ⁡ 1 + e z + z + C

Protinho!!!

Resposta

- ln ⁡ 1 + e z + z + C

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