Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int sec^2 theta t g^3 theta d theta

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int sec^2 theta tan^3 theta d theta

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = tan theta

Aqui a sacada é a seguinte, a derivada de tan theta é sec^2 theta , que esta na nossa integral original. Então quando a gente substituir ela vai ser cortada, deixando a nossa integral só em função de u . E é exatamente isso que queremos!

(d u)/(d theta) = sec^2 theta

d theta = sec^2 theta d u

Agora calculamos d u :

(d u)/(d theta) = - sin theta

d theta = - (1)/(sin theta) d u

Repara que o sin theta já esta na nossa integral original?! Quando a gente substituir vamos poder cortar e a nossa integral vai ficar toda em função de u !

Substituindo:

int cos^4 theta s e n theta d theta = int u^3 s e n theta (- (1)/(sin theta) d u)

= int - u^3 d u

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

Agora vamos integrar:

int - u^3 d u = (u^(3 + 1))/(3 + 1) + C

= - (u^4)/(4) + C

Lembrando que u = tan theta , então chegamos em:

int sec^2 theta t g^3 theta d theta = - (tan^4 theta)/(4) + C

Prontinho!

Resposta

int sec^2 theta t g^3 theta d theta = - (tan^4 theta)/(4) + C

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