Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int (z^2)/(z^3 + 1) d z

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int (z^2)/(z^3 + 1) d z

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = z^3 + 1

Agora calculamos d u :

(d u)/(d z) = 3 z^2

d z = (1)/(3 z^2) d u

Substituindo:

int (z^2)/(z^3 + 1) d z = int (z^2)/(u) ((1)/(3 z^2) d u)

= int (1)/(3 u) d u

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

Chegamos em uma integral tabelada:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então temos:

int (1)/(3 u) d u = ln |u| + C

Lembrando que u = z^3 + 1 , então:

int (z^2)/(z^3 + 1) d z = ln |z^3 + 1| + C

Prontinho!

Resposta

int (z^2)/(z^3 + 1) d z = ln |z^3 + 1| + C

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