Enunciado

f x = x 3 - 12 x + 1

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo locais de   f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

  1. Encontrando os intervalos:

f x = x 3 - 12 x + 1

f ' x = 3 x 2 - 12 → f ' x = 0

3 x 2 = 12

x 2 = 4 → x = ± 2

Beleza? Esses são os pontos críticos da nossa função! Agora vamos analisar a derivada em torno desses pontos para entender se temos máximo ou mínimo, ou até mesmo inflexão!

Passo 2

Vamos testar valores em torno dos pontos críticos e verificar o sinal da derivada: em - 3 ,   3   e   0

Vemos que a função é crescente nos intervalos: - ∞ ; - 2 U 2 ; + ∞

E decrescente quando: ( - 2 ; + 2 )

Temos também que o ponto x = - 2 é um ponto de máximo local, e x = + 2 de mínimo local.

Passo 3

Agora para verificar os pontos de inflexão e analisar a concavidade, vamos avaliar a derivada segunda!

f ' = 3 x 2 - 12

f ' ' = 6 x → f ' ' = 0

6 x = 0 → x = 0

Então temos apenas um ponto de inflexão: x = 0 . Antes dele vemos que a concavidade da função é negativa

f ' ' - 1 = 6 - 1 = - 6 < 0

E depois é positiva

f ' ' 1 = 6.1 = 6 > 0

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

  1. crescente nos intervalos: - ∞ ; - 2 U 2 ; + ∞
  2. E decrescente quando: ( - 2 ; + 2 )
  3. x = - 2 é máximo local e x = 2 é um valor de mínimo local.
  4. sabemos que f é côncava para baixo em ( - ∞ ,   0 ) e côncava para cima em 0 , ∞ , e há um ponto de inflexão em x = 0 .
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