Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

21. f x = x - 2 x 2 - x + 1 2

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 3 ( - x 2 + 3 x - 1 ) x 2 - x + 1 3 ≡ 0

= x 2 - 3 x + 1 = 0

x = 3 ± 9 - 4 ∙ 1 ∙ 1 2

x 1 ≅ 2,62

x 2 ≅ 0,38

Ao observar pelo gráfico então, a função passa a crescer em x 2 ≅ 0,38   , ponto de mínimo, até x 1 ≅ 2,62 , ponto de máximo, quando volta a decrescer até (+) infinito. É o intervalo:

0 , 38 ,   2,62

Passo 3

(b) f é decrescente desde (-) infinito até x = 0,38 , e volta a decrescer a partir de x = 2,62 , até (+) infinito. O intervalo será:

- ∞ ,   0,38 ∪ ( 2,62 ,   + ∞ )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima a partir do primeiro ponto de inflexão em x = 0 , até o segundo ponto de inflexão em x = 0,76 . Daí, volta a ter concavidade voltada pra cima a partir do terceiro ponto de inflexão em x = 3 , 22 até (+) infinito. Logo, o intervalo será:

0 ,   0,76 ∪ ( 3 , 22 ,   + ∞ )

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo desde (-) infinito até o primeiro ponto de inflexão em x = 0 . Volta a ter concavidade voltada pra baixo no segundo ponto de inflexão em x = 0,76 até o terceiro, em x = 3,22 . Logo, o intervalo é

- ∞ ,   0 ∪ ( 0,76 ,   3,22 )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = 6 x ( 2 x 2 - 8 x + 5 ) x 2 - x + 1 4 = 0

6 x 2 x 2 - 8 x + 5 = 0

x 1 = 0

x 2 = 8 + 64 - 4 ∙ 2 ∙ 5 4 ≅ 3,22

x 3 = 8 - 64 - 4 ∙ 2 ∙ 5 4 ≅ 0,76

São esses os pontos em que a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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