Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

f) f x = x 2 + s e n   x

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = x 2 + s e n   x

f ' x = 1 2 + cos ⁡ x

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

f ' x > 0 ⇒ 1 2 + cos ⁡ x > 0

cos ⁡ x > - 1 2

Agora para o segundo caso:

f ' x < 0 ⇒ 1 2 + cos ⁡ x < 0

cos ⁡ x < - 1 2

Mas poxa, para quais valores de x resolvemos essas desigualdades? Então galera, se lembrarmos da trigonometria, teremos que:

Intervalos crescentes: - 2 π 3 + 2 k π , 2 π 3 + 2 k π ;

Intervalos decrescentes: 2 π 3 + 2 k π , 4 π 3 + 2 k π .

Aqui vale ressaltar que o termo 2 k π aparece porque como se trata de uma função periódica, então depois da primeira volta tudo começa a se repetir e os valores para mais de uma volta mudarão, apesar de continuarem sendo solução. Fechou?! Então é isso!

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico conseguimos notar que realmente nosso resultado faz sentido! Vale ressaltar que - 2 π 3 está no primeiro mínimo à esquerda do eixo y e 2 π 3 está no primeiro máximo à direita do eixo y .

E essa é a nossa análise!

Resposta

Intervalos crescentes: - 2 π 3 + 2 k π , 2 π 3 + 2 k π ;

Intervalos decrescentes: 2 π 3 + 2 k π , 4 π 3 + 2 k π .

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