Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 39
(a) Encontre os intervalos crescentes e decrescentes.
(b) Encontre os valores do máximo e mínimo.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use a informação das partes (a)-(c) para esboçar um gráfico. Confira seu esboço com um gráfico de software.
Passo 1
(a) Bom pessoal, para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes nós temos que analisar a primeira derivada de onde:
Então vamos derivar a função:
Fatorando esta equação:
Agora vamos analisar quando vão ocorrer mudanças de sinal. Uma dica é prestar atenção nos intervalos dentro das raízes.
Portanto
Passo 2
(b) Para encontrar os valores de máximos e mínimos da função, a primeira derivada de deve ser nula e então analisamos a segunda derivada :
Vamos então encontrar a segunda derivada:
Fatorando a equação:
Da letra (a), temos que nos pontos Vamos utilizar estes pontos na equação acima e ver o sinal:
Agora vamos voltar para a função para ver os valores associados:
Passo 3
(C) Para descobrir a concavidade, temos que olhar para os intervalos da segunda derivada, de modo semelhante ao feito na letra (a), onde:
Vamos então para a solução:
Então checando nos intervalos próximos das raízes:
Portanto:
Os pontos de inflexão ocorrem quando passa por uma raiz e após dela continua com o mesmo sinal. O que não ocorre aqui, pois sempre há mudança de sinal na troca de intervalos seguidos.
Passo 4
(d) Traçando o gráfico da função, temos:
Resposta
(a)
(b)
(c)