Enunciado

f x = 1 2 x 4 - 4 x 2 + 3

(a) Encontre os intervalos crescentes e decrescentes.

(b) Encontre os valores do máximo e mínimo.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use a informação das partes (a)-(c) para esboçar um gráfico. Confira seu esboço com um gráfico de software.

Passo 1

(a) Bom pessoal, para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes nós temos que analisar a primeira derivada de f x → f ' x , onde:

S e   f ' x > 0 → c r e s c e n t e

S e   f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Então vamos derivar a função:

f ' x = 2 x 3 - 8 x

Fatorando esta equação:

f ' x = 2 x x 2 - 4

f ' x = 2 x ( x - 2 ) ( x + 2 )

Agora vamos analisar quando vão ocorrer mudanças de sinal. Uma dica é prestar atenção nos intervalos dentro das raízes.

P a r a - ∞ < x < - 2 → f ' x < 0

P a r a - 2 < x < 0 → f ' x > 0

P a r a   0 < x < 2 → f ' x < 0

P a r a   2 < x < ∞ → f ' x > 0

Portanto

f   é   c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - 2 ,   0   e   ( 2 , ∞ )

f   é   d e c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - ∞ ,   - 2   e   ( 0 ,   2 )

Passo 2

(b) Para encontrar os valores de máximos e mínimos da função, a primeira derivada de f deve ser nula e então analisamos a segunda derivada f ' ' ( x ) :

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então encontrar a segunda derivada:

f ' ' x = 6 x 2 - 8

Fatorando a equação:

f ' ' x = 6 x 2 - 4 3

f ' ' x = 6 x + 2 3 x - 2 3

Da letra (a), temos que f ' x = 0 nos pontos x = 0 ,   x = 2   e   x = - 2 . Vamos utilizar estes pontos na equação acima e ver o sinal:

f ' ' 0 =   - 8 → p o n t o   d e   m á x i m o

f ' ' 2 = 16 → p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' - 2 = 16 → p o n t o   d e   m í n i m o

Agora vamos voltar para a função f para ver os valores associados:

f 0 = 3 → l o c a l   d e   m a x i m o

f ± 2 = - 5 → l o c a i s   d e   m i n i m o

Passo 3

(C) Para descobrir a concavidade, temos que olhar para os intervalos da segunda derivada, de modo semelhante ao feito na letra (a), onde:

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Vamos então para a solução:

f ' ' x = 6 x + 2 3 x - 2 3

Então checando nos intervalos próximos das raízes:

P a r a - ∞ < x < - 2 3 → f ' ' x > 0

P a r a - 2 3 < x < 2 3 → f ' ' x < 0

P a r a   2 3 < x < ∞ → f ' ' x > 0

Portanto:

- ∞ , - 2 3   e   2 3 ,   ∞ → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

- 2 3 ,   2 3 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Os pontos de inflexão ocorrem quando f ' ' ( x ) passa por uma raiz e após dela continua com o mesmo sinal. O que não ocorre aqui, pois sempre há mudança de sinal na troca de intervalos seguidos.

Passo 4

(d) Traçando o gráfico da função, temos:

Resposta

(a)

  f   é   c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - 2 ,   0   e   ( 2 , ∞ )

f   é   d e c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - ∞ ,   - 2   e   ( 0 ,   2 )

(b) f 0 = 3 → l o c a l   d e   m a x i m o

f ± 2 = - 5 → l o c a i s   d e   m i n i m o

(c) - ∞ , - 2 3   e   2 3 ,   ∞ → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

- 2 3 ,   2 3 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

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Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
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