Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 - 1 2 x 4 + 1

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 - 1 2 - x 4 + 1 = x 2 - 1 2 x 4 + 1

A equação não mudou, então temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 - 1 2 x 4 + 1 → 0 = x 2 - 1 2 x 4 + 1 → x 2 - 1 2 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

y = 0 2 - 1 2 0 4 + 1 = 1 1 = 1

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x 4 + 1 = 0 → x 4 = - 1

Temos então que não possui assíntota vertical, pois aqui não possui valores onde é igual a zero, pois um valor real elevado a um valor par não pode dar um valor negativo.

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é sempre positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 2 x 4 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - 1 x 2 2 x 4 1 + 1 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 4 1 - 1 x 2 2 x 4 1 + 1 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 2 1 + 1 x 4 =

= 1 - 0 2 1 + 0 = 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 1 2 x 4 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 - 1 x 2 2 x 4 1 + 1 x 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 4 1 - 1 x 2 2 x 4 1 + 1 x 4 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 2 1 + 1 x 4 =

= 1 - 0 2 1 + 0 = 1

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 x 2 - 1 2 x - 0 x 4 + 1 - x 2 - 1 2 4 x 3 + 0 x 4 + 1 2 =

= 2 x 2 - 1 2 x x 4 + 1 - x 2 - 1 2 4 x 3 x 4 + 1 2 =

= 4 x x 6 + x 2 - x 4 - 1 - x 4 - 2 x 2 + 1 4 x 3 x 4 + 1 2 =

= 4 x 7 + 4 x 3 - 4 x 5 - 4 x - 4 x 7 - 8 x 5 + 4 x 3 x 4 + 1 2 =

= 4 x 7 + 4 x 3 - 4 x 5 - 4 x - 4 x 7 + 8 x 5 - 4 x 3 x 4 + 1 2 = 4 x 5 - 4 x x 4 + 1 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

4 x 5 - 4 x x 4 + 1 2 = 0 → 4 x 5 - 4 x = 0 → x 4 x 4 - 4 = 0 →

x = 0

4 x 4 - 4 = 0 → x 4 = 4 4 → x = ± 1

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 0,1 ; 0,1 que contém 0 , no intervalo - 1,1 ; - 0,9 que contém - 1 e no intervalo 0,9 ; 1,1 que contém 1 :

f ' - 0,1 = 4 ⋅ - 0,1 5 - 4 ⋅ - 0,1 - 0,1 4 + 1 2 = 0,4

f ' 0 , 1 = 4 ⋅ 0,1 5 - 4 ⋅ 0,1 0,1 4 + 1 2 = - 0,4

f ' - 1,1 = 4 ⋅ - 1,1 5 - 4 ⋅ - 1,1 - 1,1 4 + 1 2 = - 0,336

f ' - 0,9 = 4 ⋅ - 0,9 5 - 4 ⋅ - 0,9 - 0,9 4 + 1 2 = 0,45

f ' 0,9 = 4 ⋅ 0,9 5 - 4 ⋅ 0,9 0,9 4 + 1 2 = - 0,45

f ' 1,1 = 4 ⋅ 1,1 5 - 4 ⋅ 1,1 1,1 4 + 1 2 = 0,3 3

Pronto, temos então que f ' - 0 , 1 > 0 e f ' 0 , 1 < 0 , então f tem um máximo relativo em 0 , f ' - 1,1 < 0 e f ' - 0,9 > 0 , então f tem um mínimo relativo em - 1 e po último f ' 0,9 < 0 e f ' 1,1 > 0 , então f tem um mínimo relativo em 1 .

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 20 x 4 - 4 x 4 + 1 2 - 4 x 5 - 4 x ⋅ 2 ⋅ x 4 + 1 4 x 3 + 0 x 4 + 1 4 =

= 20 x 4 - 4 x 4 + 1 - 8 x 3 4 x 5 - 4 x x 4 + 1 3 = 20 x 8 + 20 x 4 - 4 x 4 - 4 - 32 x 8 + 32 x 4 x 4 + 1 3 =

= - 12 x 8 + 48 x 4 - 4 x 4 + 1 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

- 12 x 8 + 48 x 4 - 4 x 4 + 1 3 = 0 → - 12 x 8 + 48 x 4 - 4 = 0

x = 6 - 33 3 1 4 = 0,54

x = - 6 - 33 3 1 4 = - 0,54

Agora vamos analisar o sinal de f ' ' x ao redor dos dois pontos:

Como trocou de sinal em x = ± 0,54 , temos dois pontos de inflexão, onde a concavidade muda de côncava para cima para côncava para baixo e para côncava para cima.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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