Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de l’Hopital quando apropriado. Caso exista mais um método mais comum, use-o. Caso a regra de l’Hopital não se aplique, explique o porque.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Bom pessoal, para pode aplicar a regra de l’Hopital, devemos ter uma indeterminação, isto é, um resultado do tipo 0 0 , ± ∞ ∞ . Aparentemente, este método não se aplica neste limite. Mas podemos juntar as duas frações e encontramos então uma indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ x - x x tan - 1 ⁡ x

Agora, se substituirmos o valor do limite vamos ter que:

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ 0 - 0 0 tan - 1 ⁡ 0 = 0 0

Vamos usar então o teorema de l’Hopital, isto é, deriva em cima e deriva embaixo:

tan - 1 ⁡ x - x ' = 1 x 2 + 1 - 1

x tan - 1 ⁡ x ' = tan - 1 ⁡ x + x 1 x 2 + 1

Juntando o numerador e o denominador, temos:

l i m x → 0 +   1 x 2 + 1 - 1 tan - 1 ⁡ x + x x 2 + 1 = l i m x → 0 +   - x 2 ( x 2 + 1 ) tan - 1 ⁡ x + x

Multiplicando em cima e embaixo por 1 x 2 :

l i m x → 0 +   - 1 ( 1 + 1 x 2 ) tan - 1 ⁡ x + 1 x

Substituindo o limite:

l i m x → 0 +   - 1 ( 1 + 1 0 2 ) tan - 1 ⁡ 0 + 1 0 = - 1 ∞ = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x = 0

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