Enunciado

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desse livro

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

h x = x 2 - 1 3

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde h é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

h ' x = 3 x 2 - 1 2 2 x

h ' x = 6 x x 2 - 1 2

Estudando o sinal, temos a tabela:

Portanto, h é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo ( 0 , ∞ ) .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

6 x x 2 - 1 2 = 0

x = 0 ou x = - 1 ou x = 1

Como h decresce até x = - 1 e continua decrescendo a partir dele então x = - 1 não é mínimo nem máximo local.

Como h cresce até x = 1 e continua crescendo a partir dele então x = 1 não é mínimo nem máximo local.

Como h decresce até x = 0 e cresce a partir dele, x = 0 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

h ' ' x = 6 x 2 - 1 2 + 6 x   2 x 2 - 1 2 x

h ' ' x = 6 x 2 - 1 2 + 24 x 2 x 2 - 1

h ' ' x = x 2 - 1 ( 6 x 2 - 6 + 24 x 2 )

h ' ' x = 30 x 2 - 1 x 2 - 1 5

Estudando o sinal de h ' ' temos:

Portanto, h possui concavidade para cima em valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 , - 1 5 , 1 5 e 1 , ∞ e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - 1 , - 1 5 e 1 5 , 1 . E os pontos de inflexão são x = ± 0 e x = ± 1 5 .

Passo 4

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) h é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo ( 0 , ∞ ) .

(b) x = 0 é ponto de mínimo local.

(c) h possui concavidade para cima em valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 , - 1 5 , 1 5 e 1 , ∞ e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - 1 , - 1 5 e 1 5 , 1 . E os pontos de inflexão são x = ± 0 e x = ± 1 5 .

(d)

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