Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.3 - Ex. 42

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desse livro

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f x = ln ⁡ x 4 + 27

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' x = 4 x 3 x 4 + 27

Como x 4 + 27 é sempre maior que zero e 4 x 3 > 0 se x > 0 e 4 x 3 < 0 se x < 0 , então:

f é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo 0 , ∞ .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

4 x 3 x 4 + 27 = 0

x = 0

Como f decresce até x = 0 e cresce a partir dele, x = 0 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' x = 4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2

Para f ' ' x > 0

4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2 > 0

- 3 < x < 3

Para f ' ' x < 0

4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2 < 0

x < - 3   ou x > 3

Logo, f possui concavidade para cima para valores de x nos intervalos - 3,0 e 0,3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 e 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) f é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo 0 , ∞ .

(b) x = 0 é ponto de mínimo local.

(c) f possui concavidade para cima para valores de x nos intervalos - 3,0 e 0,3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 e 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

(d)

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