Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos, de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f é crescente aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côcavo para baixo; A inclinação das tangentes inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

f x = x - t g   x ,   x ∈ - 1 2 π , 1 2 π

Passo 1

Que textão de questão hein!! Mas calma, olhando ela por partes verá que é bem tranquila, na verdade. Vamos começar a calcular os extremos da função tirando a derivada e igualando a 0:

f x = x - t g   x

f ' x = 1 - s e c 2 x

1 - s e c 2 x = 0

1 = s e c 2 x

1 = 1 c o s 2 x

c o s 2 x = 1

c o s   x = ± 1

x = 0

Então o ponto onde derivada é zero é o ponto ( 0,0 ) .

Passo 2

Para descobrir os pontos crescentes e decrescentes da função, basta fazer um estudo do sinal da função.

Encontrando o intervalo para o qual a função derivada é negativa:

f ' x = 1 - s e c 2 x

1 - s e c 2 x < 0

s e c 2 x > 1

1 > c o s 2 x

1 > c o s   x ∴

1 > c o s   x > - 1

Pensando um pouco, é facil de perceber que não importa o valor de x , para que 1>cos x>-1 seja verdadeiro. Dessa forma a derivada é sempre negativa e o gráfico dessa função é sempre decrescente.

Passo 3

Agora falta só analisar os intervalos onde a concavidade é para cima e os intervalos onde a concavidade é para baixo. Para isso, fazemos um estudo do sinal da segunda derivada;

f ' x = 1 - s e c 2 x

f ' ' x = - 2   s e c   x × s e c   x × t g   x

f ' ' x = - 2   s e c 2   x × t g   x

- 2   s e c 2   x × t g   x = 0

t g   x = 0

x = 0

Isso quer dizer que no ponto (0,0) não existe concavidade, é um ponto de inflexão já que a primeira derivada tabmém é igual a zero.

Para verificar onde a concavidade é para cima, fazemos a segunda derivada e vemos quando ela é maior que zero:

f ' ' x = - 2   s e c 2   x × t g   x

- 2   s e c 2   x × t g   x > 0

t g   x > 0

x > 0

Isso significa que no intervalo 0 , π 2 a concavidade é para cima.

Para verificar onde a concavidade é para baixo, fazemos a segunda derivada e vemos quando ela é menor que zero:

f ' ' x = - 2   s e c 2   x × t g   x

- 2   s e c 2   x × t g   x < 0

t g   x < 0

x < 0

Isso significa que no intervalo - π 2 , 0 a concavidade é para baixo.

Passo 4

Agora vamos ver como se comporta a função no limite do seu intervalo:

lim x → - π 2 ⁡ x - t g   x = - π 2 - t g - π 2 = - π 2 - - ∞ = + ∞

Então o gráfico possui uma assíntota vertical em x = - π 2 .

No outro lado do intervalo temos:

lim x → π 2 ⁡ x - t g   x = π 2 - t g - π 2 = π 2 - + ∞ = - ∞

Então o gráfico possui uma assíntota vertical em x = π 2 também.

Passo 5

Por fim vamos reunir as informações que nós conseguimos eem um esboço do gráfico:

Resposta

Ponto de Inflexão: 0,0 ;

Função estritamente decrescente;

Concavidade para cima no intervalo 0 , π 2 ;

Concavidade para baixo no intervalo - π 2 ,   0 ;

Assíntotas verticais em x = - π 2 e em x = π 2 .

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Faça o gráfico da curva y = ln ⁡ s e n ( x )
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Faça o gráfico da função y = x 2 3 + x - 1 2 3 . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.
Se y ' = x 4 - 2 x 2 Em quais pontos, se houver, o gráfico de f tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?Esboce a forma geral do gráfico.