Enunciado

Para certa mercadoria de que x unidades são demandadas semanalmente quando p é o preço de cada unidade, 10 6 p x = 10 9 - 2 ⋅ 10 6 x + 18 ⋅ 10 3 x 2 - 6 x 3 . O custo médio de produção de cada unidade é dado por Q x = 1 50 x - 24 + 11 ⋅ 10 3 x - 1 e x ≥ 100 . Ache o número de unidades produzidas a cada semana e o preço de cada unidade para maximizar o lucro semanal.

Passo 1

Bom, se a questão pede a maximização do lucro, devemos pensar em construir uma função que expresse o lucro depedendo de alguma outra variável, seja o preço da unidade ou a quantidade de unidades prodizidas, posso escolher fazer o lucro em função das unidades produzidas?!

Primeiro devemos pensar que o lucro em cima de uma única unidade produzida l ( x ) é a diferença entre o preço de venda e o custo de produção. Temos, nas questão, a função do custo de produção, falta encontrarmos uma função que expresse o preço de venda em função das unidades produzidas:

10 6 p x = 10 9 - 2 ⋅ 10 6 x + 18 ⋅ 10 3 x 2 - 6 x 3

p x = 10 3 - 2 x + 18 ⋅ 10 - 3 x 2 - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 3

p x = 1 0 3 x - 1 - 2 + 18 ⋅ 10 - 3 x - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 2

Passo 2

Agora podemos deduzir uma expressão do lucro em cima de cada unidade vendida:

l x = p x - Q ( x )

l x = 1 0 3 x - 1 - 2 + 18 ⋅ 10 - 3 x - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 2 - 1 50 x - 24 + 11 ⋅ 10 3 x - 1  

l x = 22 - 1 0 4 x - 1 - 2 ⋅ 1 0 - 3 x - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 2

Mas estamos a procura de uma função que expresse o lucro total. Pode-se perceber facilmente que o lucro total L ( x ) é igual ao numero total de unidades vendidas ( x ) vezes o lucro de cada unidade l ( x ) , logo:

L x = x ⋅ l x

L x = 22 x - 1 0 4 - 2 ⋅ 1 0 - 3 x 2 - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 3

Passo 3

Para maximixar a função, agora basta derivarmos e igualar a zero para encontrar o extremo relativo:

L x = 22 x - 1 0 4 - 2 ⋅ 1 0 - 3 x 2 - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 3

L ' x = 22 - 4 ⋅ 1 0 - 3 x - 18 ⋅ 1 0 - 6 x 2

22 - 4 ⋅ 1 0 - 3 x - 18 ⋅ 1 0 - 6 x 2 = 0

22 ⋅ 1 0 6 - 4 ⋅ 1 0 3 x - 18 x 2 = 0

x = 4 ⋅ 1 0 3 ± - 4 ⋅ 1 0 3 2 - 4 ⋅ 22 ⋅ 1 0 6 ⋅ - 18 2 ⋅ ( - 18 )

x = 4 ⋅ 1 0 3 ± 16 ⋅ 1 0 8 2 ⋅ ( - 18 )

x = 4 ⋅ 1 0 3 ± 40 ⋅ 1 0 3 2 ⋅ ( - 18 )

x 1 = 1000 ; x 2 = - 1222,22

Como x ≥ 100 , então descartamos o x 2 e o número total de mercadora deve ser 1000 unidades.

Passo 4

Por fim, usamos a função do custo em função da quantidade de unidades produzidas p ( x ) :

p x = 1 0 3 x - 1 - 2 + 18 ⋅ 10 - 3 x - 6 ⋅ 1 0 - 6 x 2

p x = 1 0 3 ( 1000 ) - 1 - 2 + 18 ⋅ 10 - 3 ( 1000 ) - 6 ⋅ 1 0 - 6 ( 1000 ) 2

p x = 11

Resposta

x = 1000

p = 1 1

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