Enunciado

Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

Passo 1

Seja f x = x 3 + 3 x 2 - 4 . Como não temos um método fácil de obtenção de raízes em um polinômio do 3º grau, começaremos testando raízes inteiras. Dessa forma, como o polinômio só tem coeficientes inteiros, a raiz tem que ser divisora de a 3 a 0 ,   ou seja, x   d i v i d e - 4 1 = - 4 . Começando pelo mais simples, testaremos x = 1 .

f 1 = 1 3 + 3.1 2 - 4 = 1 + 3 - 4 → f 1 = 0

Logo, x = 1 é raiz. Como isso, utilizando Briot-Ruffini para diminuirmos o grau, teremos:

Logo, teremos que f x = x - 1 x 2 + 4 x + 4 .   Vemos que, por produtos notáveis, x 2 + 4 x + 4 = x + 2 2 . Dessa maneira, x = - 2   também é raiz de f e a parcela x + 2 2 não interfere no sinal de f ( x ) .

Passo 2

Calculando f ' x ,   teremos:

f ' x = 3 x 2 + 3.2 x → f ' x = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 )

Pelo fatoramento da função f ' vemos que x = 0   e   x = - 2 são raízes. Além disso, teremos a tabela seguinte:

Passo 3

Calculando f ' ' ( x ) , teremos:

f ' ' x = 3.2 x + 6.1 → f ' ' x = 6 x + 6

Dessa forma temos que a raiz de f ' ' x   é   x = - 1 . Além disso, vemos que:

f ' ' x < 0 ,   s e   x < - 1 f ' ' x > 0 ,   s e   x > - 1

Logo, temos que a inclinação da tangente inflexional será f ' - 1 = 3 . - 1 2 + 6 . - 1 = - 3 .

Passo 4

Passo 5

Agora, com todos os dados obtidos e calculando alguns pontos da função, chegaremos ao gráfico:

E os valores de máximo e mínimo relativos são, respectivamente, 0   q u a n d o   x = - 2 e - 4   q u a n d o   x = 0 .

Resposta

Os extremos relativos de f   s ã o : - 2,0 m á x i m o   e   ( 0 , - 4 ) ( m í n i m o ) .

O ponto de inflexão de f   é : ( - 1 , - 2 ) .

A função é crescente em x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 0 , + ∞ e decrescente em x ∈ ( - 2,0 ) .

O gráfico é côncavo para baixo em x < - 1 e côncavo para cima em x > - 1 .

A inclinação da tangente inflexional é - 3 .

Gráfico:

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