Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = 1 e x 2

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = - 2 x e x 2

Essa função zera quando :

x = 0

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = - 2 x e x 2 > 0

    Como a nossa primeira função derivada é negativa, para ter valores positivos precisamos inserir valores negativos na fórmula, tornando-se positivos por consequência. Isso acontece quando estamos no intervalo de menos infinito até a raiz x   (   - ∞ , 0   ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' ( x ) = - 2 x e x 2 < 0

    E quando isso acontece? A derivada sempre será negativa se inserirmos um valor postivo na função, isso ocorre da raiz x até o infinito:   ( 0 ,   + ∞   ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = e - x 2 ( 4 x 2 - 2 )

    Essa função zera quando:

    x = ±   1 2

  5. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . Acontece que a nossa segunda derivada é formada por uma função composta, que possui termos quadráticos que impedem que a função seja negativa quando o valor é maior que a raiz da função. Isso significa que terá concavidade para cima em todo o intervalo - ∞ , - 1 2 e 1 2 , + ∞
  6. Entretanto, qualquer valor que esteja entre a raiz negativa e a raiz positiva irá fazer com que a segunda derivada seja negativa e a concavidade para baixo em 1 2 , - 1 2
  7. O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = ± 1 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.f) g x = x 2 x 2 - 2
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.j) f x = x 4 - 2 x 3 + 2 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal