Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = x + 2 3

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = 1 3 x + 2 - 2 3

Essa função zera quando :

x = - 2

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 1 3 x + 2 - 2 3 > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo de x até o infinito   ( - 2 ,     + ∞ ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' ( x ) = 1 3 x + 2 - 2 3 < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero da função x :   ( - ∞ ,     - 2 ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = - 2 9 x + 2 - 5 3

    Essa função zera quando:

    x = - 2

  5. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . Como nossa função é negativa, ela será positiva se os valores dentro de x + 2 < 0 , isso acontece dentro do intervalo ( - ∞ ,     - 2 ) .
  6. O oposto também é veradeiro, a segunda derivada terá valor negativo se os valores forem postivos em ( - 2 ,     + ∞ ) , satisfazendo x + 2 > 0 , tornando a função negativa.
  7. O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = - 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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