Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = x 2 x 2 + 2

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = 4 x x 2 + 2 2

Essa função zera quando :

x = 0

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 4 x x 2 + 2 2 > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo de x até o infinito   ( 0 ,     + ∞ ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' ( x ) = 4 x x 2 + 2 2 < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero da função x :   ( - ∞ ,       0 ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = - 12 x 2 + 8 x 2 + 2 3

    Essa função zera quando:

    x = ±   2 3

  5. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . Como o termo de maior valor da equação é negativo, qualquer valor que seja numericamente (em módulo) maior do que a raiz, fará com que a função toda seja negativa. Então, a concavidade será para cima no intervalo de -   2 3 ,   +   2 3 .
  6. Os demais valores fora do intervalo, farão com que a função seja negativa em: - ∞ , - 2 3 e + 2 3 , + ∞ .
  7. O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = ±   2 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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