Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = x 2 - 5 x + 6

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = 2 x - 5

Essa função zera quando :

2 x - 5 = 0

x = 5 2

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 2 x - 5 > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo de x até o infinito 5 2 ,     + ∞ .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' x = 2 x - 5 < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero da função x : - ∞ ,     5 2 .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = 2

    Aqui temos que a segunda derivada é 2, independente do valor de x , independente de qualquer intervalo.

  5. Como o valor da segunda derivada é sempre maior que zero, isso significa que ela sempre terá a concavidade para cima, poia segunda derivada é positiva. f ' ' ( x ) = 2 > 0
  6. A função tem a concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa, isso nunca acontece, pois trata-se de um valor numérico positivo e constante.
  7. Não há pontos de inflexão (pois um ponto de inflexão é sempre aquele que é a raiz da segunda deriva, ou seja, quando f ' ' x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f x = a x 4 + b x ³ + c x ² + d x + e , ³ ² determine a ,b ,c ,dee , de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1,-1), passe pela origem e seja simétrico com respeito ao eixo y.
Se f x = a x ³ + b x ² , ³ ² determine aeb , de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2).
Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico. 2 4
Se f x = a x ³ + b x ² + c x , ³ ² determine a ,bec , de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2) e que a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão seja -2.