Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = x 4 3 - x 1 3

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f '   ( x ) = 4 3 x 1 3 - 1 3 x - 2 3 = 1 ( 4 x - 1 ) 3   x 2 / 3  

Essa função zera quando :

x = 1 4

Ou quando:

x = 0

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 1 ( 4 x - 1 ) 3   x 2 / 3   > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo de x positivo até o infinito   ( 1 4 ,     + ∞ ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo, quando x é nulo a função zera e nã0 é nem positiva ou negativa.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' ( x ) = 1 ( 4 x - 1 ) 3   x 2 / 3   < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero negativo da função x :   ( - ∞ ,   1 4 ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = 2 ( 2 x + 1 ) 9   x 5 / 3

    Essa função zera quando:

    x = 0

    x = - 1 2

  5. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . Isso acontece quando temos números de - ∞ , - 1 2 e também no intervalo de ( 0 , + ∞ )
  6. Entretanto, valores que estão entre as duas raízes acabam não zerando a nossa segunda derivada e principalmente tornando-a negativa. Então, tem concavidade para baixo no intervalo ( - 1 2 ,   0 ) .
  7. O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = 0 e x = - 1 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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