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Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

2 4 )   g x = 2 x - 6 3 2 + 1

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

g x = 2 x - 6 3 2 + 1

g ' ( x ) = 3 2 . 2 . 2 x - 6 1 2 = 3 . 2 x - 6 1 2

g ' ' x = 3 . 1 2 . 2 . 2 x - 6 - 1 2 = 3 2 x - 6 1 2

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por g ' ' x = 0 . Neste caso, a função g ' ' x nunca será igual a 0 e não está definida no ponto x = 3 .

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

g ' ( x ) = lim x → c ⁡ g x - g ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

g ' x = lim x → 3 + ⁡ g x - g c x - c = 0

g ' x = lim x → 3 - ⁡ g x - g c x - c = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

Então:

g ' 3   n ã o   e x i s t e

Ou seja, não há uma reta tangente que passa sobre o ponto x = 3 .

Analogamente:

g ' ' 3   n ã o   e x i s t e  

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, não há reta tangente que passa por esse ponto e como a função não está definida em x < 3 também não há mudança na concavidade, então   x = 3 não é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Não há ponto de inflexão.

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