Enunciado

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Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional à área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma taxa constante.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos lembrar é a fórmula que descreve a superfície de uma esfera. É assim olha:

A = 4 π r 2

Mas aí o que significa “queimar a uma taxa que, em cada instante, é proporcional à área de sua superfície”? A taxa em que ele queima é basicamente a taxa em que o meteorito está diminuindo, ou seja, sua variação de volume ( d V / d t ), que no caso será proporcional a superfície do meteorito. Logo:

d V d t = k   Á r e a   d a   s u p e r f í c i e = k 4 π r 2                           e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

Beleza, mas já que apareceu o d V / d t , parece uma boa ideia a gente derivar a expressão de volume da esfera pra esse cara aparecer. Fazendo isso fica assim:

V = 4 3 π r 3

Derivando...

d V d t = d d t 4 3 π r 3 = 4 3 π d r 3 d t

Pela Regra da Cadeia:

d V d t = 4 3 π 3 r 2 d r d t

Então chegamos que:

d V d t = 4 π r 2 d r d t                               e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 3

Passo 4

Juntando agora as equações (1) e (2):

d V d t = k 4 π r 2                           e q u a ç ã o   ( 1 )

d V d t = 4 π r 2 d r d t                             e q u a ç ã o   ( 2 )

Igualando elas:

k 4 π r 2       =   4 π r 2 d r d t  

k     =   d r d t          

Opaaaa achamos que a variação do raio com o tempo é constante. Exatamente o que o enunciado pediu pra gente mostrar 😊

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