Enunciado

Encontre underset(x -> oo)(lim) f ( x ) se, para todo x > 1

(10 e^x - 21)/(2 e^x) < f (x) < (5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui eu e você iremos encontrar o limite da função f ( x ) sabendo apenas que ela está entre as duas funções dadas.

Iremos para isso então utilizar o teorema do confronto, que é perfeito para situações do tipo.

O teorema do confronto diz que:

Sejam f ( x ) , g (x) e h ( x ) funções reais definida no domínio D in R e seja a um ponto dentro desse domínio, se:

g (x) <= f (x) <= h ( x )

E

underset(x -> a)(lim) g ( x ) = underset(x -> a)(lim) h ( x ) = L

Então

underset(x -> a)(lim) h ( x ) = L

Passo 2

Calcularemos o limite em cada lado da inequação, primeiro:

underset(x -> oo)(lim) (10 e^x - 21)/(2 e^x)

Dividindo todo mundo por e^x

= ((10 e^x - 21) * ((1)/(e^x)))/(2 e^x * ((1)/(e^x)))

= (10 - (21)/(e^x))/(2)

= (10 - 0)/(2) = 5

Passo 3

Agora, calcularemos o limite do outro lado da inequação:

underset(x -> oo)(lim) (5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))

= (5 sqrt(x) * ((1)/(sqrt(x))))/(sqrt(x - 1) * ((1)/(sqrt(x))))

= (5)/(sqrt(1 - ((1)/(x))))

= (5)/(sqrt(1 - 0)) = 5

Passo 4

Como,

(10 e^x - 21)/(2 e^x) < f (x) < (5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))

Então, pelo teorema do confronto,

underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = 5

Resposta

underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = 5

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Prove que a função secante é contínua em seu domínio.
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x
Dado: - sin ⁡ x ≤ f x ≤ 2 + sin ⁡ x para todo x no intervalo aberto -π ,0 . Ache lim x → - π 2 ⁡ f x .
Dado: 1 - cos 2 ⁡ x ≤ f x ≤ x 2 para todo x no intervalo aberto - 1 2 π ,1 2 π . Ache lim x → 0 ⁡ f x .
Prove que a função secante é contínua em seu domínio.