Enunciado

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função y = 2 x x - 1 .

Perceba que o ponto x = 1   não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → 1 - ⁡   2 x x - 1  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → 1 - ⁡   2 x x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 - 2 x l i m x → 1 - ( x - 1 )  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → 1 - ⁡   2 x x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 - 2 x l i m x → 1 - ( x - 1 ) =       ⁡   l i m x → 1 - 2 x l i m x → 1 - x - l i m x → 1 - 1

Passo 2

Substituindo os limites, temos

l i m x → 1 - 2 x l i m x → 1 - x - l i m x → 1 - 1 =   2 1   - 1 = 2 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos tirando um de um número menor, o que significa dizer que teremos:

2 n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

Sendo assim, lim x → 1 - ⁡   2 x - 1 =   - ∞

Passo 3

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → 1 + ⁡   2 x x - 1  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → 1 + ⁡   2 x x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 + 2 x l i m x → 1 + ( x - 1 ) =   lim x → 1 + ⁡   2 x x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 + 2 x l i m x → 1 + x - l i m x → 1 + 1 = 2 0

Perceba que agora estamos nos aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos tirando um de um número maior, o que significa dizer que teremos:

2 p o s i t i v o = p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

Daí, lim x → 1 + ⁡   2 x - 1 = ∞

Passo 2

Logo, temos uma assíntota x = 1 , na qual a função explode positivamente à direita deste ponto e à esquerda, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Passo 3

Olhe novamente para a função, olhou? Viu que temos um polinomio não constatnte dessa ves? Então podemos tentar encontrar assíntotas horizontais, para isso, devemos tender a e - ∞ .

Vamos começar por . Ou seja, vamos calcular

lim x → ∞ ⁡   2 x x - 1 .

Vamos usar a regra para limites no infinito de funções racionais, ou seja, dividir o numerador e o denominador pelo termo de x de maior potencia. Neste caso será o próprio x,

lim x → ∞ ⁡   2 x x - 1 .   =   lim x → ∞ ⁡   2 x x x x - 1 x .   =   lim x → ∞ ⁡   2 1 + 1 x

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

  lim x → ∞ ⁡   2 1 + 1 x =   l i m x → ∞ 2 lim x → ∞ ⁡   1 + l i m x → ∞ 2 x = 2 1 + 0 = 2

lim x → - ∞ ⁡   2 x x - 1 = 2

Da mesma forma,

lim x → - ∞ ⁡   2 x x - 1 =     lim x → - ∞ ⁡   2 1 + 1 x =   l i m x → - ∞ 2 lim x → - ∞ ⁡   1 + l i m x → - ∞ 2 x = 2 1 + 0 = 2  

Logo, temos uma assíntota horizontal y = 2 , ou seja,

Resposta

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51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.55. lim x → + ∞ ⁡ 2 x x - 1 = 2
59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.63. lim x → 0 ⁡ - 1 x 4 = - ∞
59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.60. lim x → 3 ⁡ - 1 x - 3 2 = - ∞
57. a) Encontre o maior intervalo aberto centrado na srcem do eixo x , tal que, para cada ponto x no intervalo, diferente do centro, o valor de f x = 1 x 2 é maior do que 100 .
57. d) Encontre o maior intervalo aberto, centrado na secrem do eixo x , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de zero, o valor de f x = - 1 x 4 é menor do que - 10000 .