Encontre o limite, se existir.

lim x→0 sen(x \* sen(1/x))

Passo 1

Sabemos que todos os valores de seno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x 2   para termos a função dada no enunciado.

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1 ∙   sin ⁡ x

- sin ⁡ x ≤ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x ≤   sin ⁡ x

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x ≤ 0

Como lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x que é menor que lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x e lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x que é maior que lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x é igual 0.

Resposta

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

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