lim x → π + ⁡ sin ⁡ x x - π  

(Sugestão: seja t = x - pi )

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos substituir π - x por t como sugerido no enunciado e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

t = x - π

x → π + ⇒ t → 0 +

lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t - π t

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de arco suplementar sin ⁡ t = sin ⁡ π - t e ângulo replementar - sin ⁡ t =   sin ⁡ - t .

lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ - π - t t

lim t → 0 + ⁡ - sin ⁡ π - t t

lim t → 0 + ⁡ - sin ⁡ t t

Passo 3

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1 .

( - 1 ) lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t t

( - 1 ) 1

- 1

Resposta

lim x → π + ⁡ sin ⁡ x x - π   = - 1

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