Enunciado

Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3

Passo 1

Sabemos que todos os valores de seno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x 3   ≤ 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x 2   para termos a função dada no enunciado.

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x 3   ≤ 1 ∙   x 2

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x 3   ≤ x 2

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 - ⁡ x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 ≤ 0

Como lim x → 0 - ⁡ x 2 que é menor que lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 e lim x → 0 ⁡ x 2 que é maior que lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 é igual 0.

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = 0

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Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por f x = x 2 sen ⁡ 1 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0
Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f xx 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.
Verifique que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x . (Justifique)
Seja f definida em R e suponha que exista M0 tal que, para todo x , f x - f p ≤ M x - p 2 .Mostre que f é contínua em p .Calcule, caso exista, lim x → p ⁡ f x - f p x - p .
Nos exercícios 79 e 80, use o teorema do “sanduíche” para determinar o limite.80) lim x → 4 ⁡ g xs eg x + 53 4 - x 2 para todo x