Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g x)/(ln x)

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos (oo)/(oo) , certo? Então bora aplicar L’Hospital. Até agora, temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g x)/(ln x)

Derivando ficamos com:

underset(x -> 0^+)(lim) (- c o s s e c^2 x)/((1)/(x))

Podemos simplificar para:

underset(x -> 0^+)(lim) - x c o s s e c^2 (x)

Vale lembrar que underset(x -> a)(lim) [c . f (x)] = c underset(x -> a)(lim) f ( x ) , logo

- underset(x -> 0^+)(lim) x c o s s e c^2 (x)

Expressando com o seno, cosseno temos

- underset(x -> 0^+)(lim) (x)/(s e n^2 x)

Passo 2

Aplicamos mais uma vez agora a regra de L’Hospital:

- underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(s e n (2 x))

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

- (1)/(s e n (0^+))

Observa que para x se aproximando de 0 pela direita, x > 0 -> s e n (2 x) > 0 . O denominador é um valor então positivo! Logo teremos:

- (1)/(0) = - oo

Resposta

- oo

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