Mostre que

lim k->∞ (1 + r/k)^k = e^r

Passo 1

Primeiro iremos usar a regra

a b = e b   l n   a

para reescrever o limite.

Passo 2

Temos então:

l i m k → ∞ 1 +   r k k = l i m k → ∞   e k   l n   1 +   r k

Usando as propriedades do limite:

l i m k → ∞   e k   l n   1 +   r k =   e l i m k → ∞   k   l n   1 +   r k

Passo 3

Agora iremos calcular apenas o limite do expoente:

l i m k → ∞   k   l n   1 +   r k

Passo 4

Se a gente substituir o limite na função, temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 , então iremos ajeita essa função para que tenhamos 0/0 ou ∞ / ∞ :

l i m k → ∞   k   l n   1 +   r k = l i m k → ∞     l n   1 +   r k 1 k = 0 0

Passo 5

Podemos agora aplicar LH, derivando em cima e em baixo:

l i m k → ∞     l n   1 +   r k 1 k = l i m k → ∞ 1 1 + r k   ⋅ 1 + r k ' - 1 k 2 = l i m k → ∞ 1 1 + r k   ⋅ - r k 2 - 1 k 2

l i m k → ∞ r 1 + r k

Passo 6

Como fugimos da indeterminação, agora podemos substituir o limite:

l i m k → ∞ r 1 + r k = r 1 + r ∞ = r

Pondo de volta na função original :

l i m k → ∞ 1 +   r k k = l i m k → ∞   e k   l n   1 +   r k =   e l i m k → ∞   k   l n   1 +   r k = e r

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados