Enunciado

b. Esboce

f ( x ) = l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x e l i m x → ∞ 1 +   1 x x

em um único gráfico para x ≥ 0 . Como o comportamento de f se compara com o de g?

Estime o valor de l i m x → ∞ f ( x ) .

c. Confirme sua estimativa de l i m x → ∞   f ( x ) com o cálculo pela regra de L’ Hopital.

Passo 1

b. Para esboçar esses gráficos, podemos por valores bem altos para x para avaliar o comportamento da função quando x → ∞ .

Passo 2

Analisando o gráfico podemos notar que a função f ( x ) vai para zero e a função g ( x ) tende a um valor e .

Passo 3

c. Agora iremos resolver o limite por LH.

l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x

Passo 4

Primeiro iremos usar a regra

a b = e b   l n   a

para reescrever o limite.

Passo 5

Temos então:

l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x = l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x 2

Usando as propriedades do limite:

l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x 2 =   e l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x 2

Passo 6

Se a gente substituir o limite na função, temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 , então iremos ajeita essa função para que tenhamos 0/0 ou ∞ / ∞ :

l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x 2 = l i m x → ∞     l n   1 +   1 x 2 1 x = 0 0

Passo 7

Podemos agora aplicar LH, derivando em cima e em baixo:

l i m x → ∞     l n   1 +   1 x 2 1 x = l i m x → ∞ 1 1 + 1 x 2   ⋅ 1 + 1 x 2 ' - 1 x 2 = l i m x → ∞ 1 1 + 1 x 2   ⋅ - 2 x 3 - 1 x 2

l i m x → ∞ 1 1 + 1 x 2 ⋅ 2 x = l i m x → ∞   2 x + 1 x =

Passo 8

Como fugimos da indeterminação, agora podemos substituir o limite:

l i m x → ∞ 2 x + 1 x = 2 ∞ + 1 ∞ = 2 ∞ + 0 = 0

Pondo de volta na função original :

l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x = l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x 2 =   e l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x 2 = e 0 =   1

Resposta

l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x = 0

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10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → ∞ ⁡ x - 8 x 2 12 x 2 + 5 x