Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x

Passo 1

Como

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x = 0

E

lim x → 0 ⁡ x = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Passo 2

Podemos neste caso, aplicar a troca de variáveis w = 3 x ou x = w / 3 , de modo que quando x → 0 então w → 0 e x ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w 3

lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w 3 = lim w → 0 ⁡ 3 sen ⁡ w w

Passo 3

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim x → 0 ⁡ 3 sen ⁡ w w = lim w → 0 ⁡ 3 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 3 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Desse modo, temos que:

3 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 3 × 1 = 3

Logo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = 3

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