Enunciado

Encontre o limite.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t)

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = (underset(t -> 0)(lim) tg 6 t)/(underset(t -> 0)(lim) sen 2 t)

Mas perceba que:

underset(t -> 0)(lim) tg 6 t = 0

E

underset(t -> 0)(lim) sen 2 t = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (((sen 6 t)/(cos 6 t)))/(sen 2 t) :.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (1)/(cos 6 t) xx (sen 6 t)/(sen 2 t)

Como o limite do produto é o produto do limite:

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = = underset(t -> 0)(lim) (1)/(cos 6 t) xx underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) :.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = 1 xx underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) :.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t)

Passo 3

Desse modo temos:

underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(1) xx (1)/(sen 2 t) :.

underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) xx (2 t)/(2 sen 2 t) :.

underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) = underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) xx (1)/(((2 sen 2 t)/(2 t)))

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(t -> 0)(lim) (sen 6 t)/(sen 2 t) = (underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t)) xx underset(t -> 0)(lim) (1)/(((2 sen 2 t)/(2 t)))

Agora vamos verificar cada um desses limites!!

Passo 4

Para o limite underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) temos:

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 6 t ou, de modo que quando t -> 0 então w -> 0 e t != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) = underset(w -> 0)(lim) (6 sen w)/(w)

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) = underset(w -> 0)(lim) 6 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) :.

underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) = 6 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(t -> 0)(lim) (sen t)/(t) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Assim:

underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t) = 6

Passo 5

Quanto ao limite underset(t -> 0)(lim) (1)/(((2 sen 2 t)/(2 t))) , só podemos dizer que o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite no denominador for diferente de 0.

Para verificar isso, devemos calcular o limite underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t) :

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 2 t ou, de modo que quando t -> 0 então w -> 0 e t != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t) = underset(w -> 0)(lim) (2 sen w)/(w)

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t) = underset(w -> 0)(lim) 2 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) :.

underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t) = 2 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(t -> 0)(lim) (sen t)/(t) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Assim:

underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t) = 2 != 0

Então neste caso podemos resolver:

underset(t -> 0)(lim) (1)/(((2 sen 2 t)/(2 t))) = (underset(t -> 0)(lim) 1)/(underset(t -> 0)(lim) (2 sen 2 t)/(2 t)) = (1)/(2)

Passo 6

Voltando ao limite do Passo 3, temos:

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = (underset(t -> 0)(lim) (6 sen 6 t)/(6 t)) xx underset(t -> 0)(lim) (1)/(((2 sen 2 t)/(2 t))) :.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = 6 xx (1)/(2) :.

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (tg 6 t)/(sen 2 t) = 3

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