Encontre o limite.

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 2 t

Mas perceba que:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t = 0

E

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 2 t = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t cos ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 6 t × sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t

Como o limite do produto é o produto do limite:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = = lim t → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 6 t × lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = 1 × lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t

Passo 3

Desse modo temos:

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t 1 × 1 sen ⁡ 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t × 2 t 2 sen ⁡ 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t × 1 2 sen ⁡ 2 t 2 t

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t × lim t → 0 ⁡ 1 2 sen ⁡ 2 t 2 t

Agora vamos verificar cada um desses limites!!

Passo 4

Para o limite lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t temos:

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 6 t ou, de modo que quando t → 0 então w → 0 e t ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t = lim w → 0 ⁡ 6 sen ⁡ w w

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t = lim w → 0 ⁡ 6 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w ∴

lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t = 6 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Assim:

lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t = 6

Passo 5

Quanto ao limite lim t → 0 ⁡ 1 2 sen ⁡ 2 t 2 t , só podemos dizer que o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite no denominador for diferente de 0.

Para verificar isso, devemos calcular o limite lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t :

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 2 t ou, de modo que quando t → 0 então w → 0 e t ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t = lim w → 0 ⁡ 2 sen ⁡ w w

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t = lim w → 0 ⁡ 2 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w ∴

lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t = 2 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Assim:

lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t = 2 ≠ 0

Então neste caso podemos resolver:

lim t → 0 ⁡ 1 2 sen ⁡ 2 t 2 t = lim t → 0 ⁡ 1 lim t → 0 ⁡ 2 sen ⁡ 2 t 2 t = 1 2

Passo 6

Voltando ao limite do Passo 3, temos:

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = lim t → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 t 6 t × lim t → 0 ⁡ 1 2 sen ⁡ 2 t 2 t ∴

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = 6 × 1 2 ∴

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim t → 0 ⁡ tg ⁡ 6 t sen ⁡ 2 t = 3

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