Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x)

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = (underset(x -> 0)(lim) sen 4 x)/(underset(x -> 0)(lim) sen 6 x)

Mas perceba que:

underset(x -> 0)(lim) sen 4 x = 0

E

underset(x -> 0)(lim) sen 6 x = 0

Temos então uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(1) xx (1)/(sen 6 x) :.

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x) xx (6 x)/(6 sen 6 x)

Repare que aqui multiplicamos pelas mesmas coisas em cima e em baixo, mantendo o valor original da função.

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x) xx (1)/(((6 sen 6 x)/(6 x)))

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = (underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x)) xx underset(x -> 0)(lim) (1)/(((6 sen 6 x)/(6 x)))

Agora vamos resolver cada um desses limites separadamente!

Passo 3

Para o limite underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x) temos:

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 4 x ou, de modo que quando x -> 0 então w -> 0 e x != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x) = underset(w -> 0)(lim) (4 sen w)/(w)

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) 4 (sen w)/(w) = underset(w -> 0)(lim) 4 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) :.

underset(x -> 0)(lim) 4 (sen w)/(w) = 4 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Assim:

underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x) = 4

Passo 4

Quanto ao limite underset(x -> 0)(lim) (1)/(((6 sen 6 x)/(6 x))) , só podemos dizer que o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite no denominador for diferente de 0.

Para verificar isso, devemos calcular o limite underset(x -> 0)(lim) (6 sen 6 x)/(6 x) :

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 6 x ou, de modo que quando x -> 0 então w -> 0 e x != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(x -> 0)(lim) (6 sen 6 x)/(6 x) = underset(w -> 0)(lim) (6 sen w)/(w)

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(x -> 0)(lim) 6 (sen w)/(w) = underset(w -> 0)(lim) 6 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) :.

underset(x -> 0)(lim) 6 (sen w)/(w) = 6 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Assim:

underset(x -> 0)(lim) (6 sen 6 x)/(6 x) = 6 != 0

Então neste caso podemos resolver:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(((6 sen 6 x)/(6 x))) = (underset(x -> 0)(lim) 1)/(underset(x -> 0)(lim) (6 sen 6 x)/(6 x)) = (1)/(6)

Passo 5

Agora, voltando ao limite do Passo 2, temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = (underset(x -> 0)(lim) (4 sen 4 x)/(4 x)) xx underset(x -> 0)(lim) (1)/(((6 sen 6 x)/(6 x))) :.

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = 4 xx (1)/(6) :.

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = (2)/(3)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen 4 x)/(sen 6 x) = (2)/(3)

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