Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 6 x

Mas perceba que:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x = 0

E

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 6 x = 0

Temos então uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x 1 × 1 sen ⁡ 6 x ∴

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x × 6 x 6 sen ⁡ 6 x

Repare que aqui multiplicamos pelas mesmas coisas em cima e em baixo, mantendo o valor original da função.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x × 1 6 sen ⁡ 6 x 6 x

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x × lim x → 0 ⁡ 1 6 sen ⁡ 6 x 6 x

Agora vamos resolver cada um desses limites separadamente!

Passo 3

Para o limite lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x temos:

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 4 x ou, de modo que quando x → 0 então w → 0 e x ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x = lim w → 0 ⁡ 4 sen ⁡ w w

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ w w = lim w → 0 ⁡ 4 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w ∴

lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ w w = 4 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Assim:

lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x = 4

Passo 4

Quanto ao limite lim x → 0 ⁡ 1 6 sen ⁡ 6 x 6 x , só podemos dizer que o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite no denominador for diferente de 0.

Para verificar isso, devemos calcular o limite lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 x 6 x :

Se aplicarmos a troca de variáveis w = 6 x ou, de modo que quando x → 0 então w → 0 e x ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 x 6 x = lim w → 0 ⁡ 6 sen ⁡ w w

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ w w = lim w → 0 ⁡ 6 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w ∴

lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ w w = 6 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Assim:

lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 x 6 x = 6 ≠ 0

Então neste caso podemos resolver:

lim x → 0 ⁡ 1 6 sen ⁡ 6 x 6 x = lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ 6 sen ⁡ 6 x 6 x = 1 6

Passo 5

Agora, voltando ao limite do Passo 2, temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ 4 sen ⁡ 4 x 4 x × lim x → 0 ⁡ 1 6 sen ⁡ 6 x 6 x ∴

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = 4 × 1 6 ∴

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = 2 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x sen ⁡ 6 x = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados