Encontre o limite.

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2

Mas perceba que:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 = 0

E

lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2 = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação.

Podemos fatorar o denominador:

x 2 + x - 2 = x + 2 x - 1

Então:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x + 2 x - 1

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = lim x → 1 ⁡ 1 x + 2 × lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1

Passo 3

Para o limite lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1 , aplicando a troca de variáveis w = x - 1 de modo que quando x → 1 então w → 0 e x ≠ 1 implica em w ≠ 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1 = lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 temos então:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1 = 1

Passo 4

Para o limite lim x → 1 ⁡ 1 x + 2 , como lim x → 1 ⁡ x + 2 = 3 e 3 ≠ 0 , então:

lim x → 1 ⁡ 1 x + 2 = 1 3

Logo:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = 1 3

Entendeu direitinho??? Responde aee 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados