Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x)

Passo 1

Como

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x) = 0

E

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (sen x - cos x) = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - (sen x)/(cos x))/(sen x - cos x) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (((cos x - sen x)/(cos x)))/(sen x - cos x)

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (cos x - sen x)/(cos x ( sen x - cos x )) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (- (sen x - cos x))/(cos x (sen x - cos x))

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (- 1)/(cos x)

Passo 3

Como underset(x -> (pi)/(4))(lim) cos x = (sqrt(2))/(2) , então:

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (- 1)/(cos x) = - (1)/(((sqrt(2))/(2)))

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = - sqrt(2)

Resposta

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (1 - tg x)/(sen x - cos x) = - sqrt(2)

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