Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Devemos encontrar o limite ou demonstrar que o mesmo não existe.

Para começar, note que se usarmos as propriedades dos limites, vemos que:

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 = + ∞ - ∞

Como isso é uma indeterminação, vamos precisar mexer na função dentro do limite até a indeterminação sumir, belê? Então vamos!

Escolha da estratégia: Para resolver esse limite, iremos pôr em cima e em baixo o termo de maior expoente. Isso é uma boa ideia porque nos ajuda a escrever termos com:

C x n

Onde, independente de quem é a constante C , se n > 0 vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ C x n = 0

Escolhida a estratégia, só pôr a mão na massa!

Passo 2

Nosso limite é:

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Colocando em evidência os termos de maior expoente, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 6 9 - 1 x 5 x 3 1 + 1 x 3

Note que, como:

x 2 = x

Vamos ter:

x 6 = x 3

Nosso limite se torna então:

lim x → - ∞ ⁡ x 6 9 - 1 x 5 x 3 1 + 1 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 6 ∙ 9 - 1 x 5 x 3 ∙ 1 + 1 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

Vamos resolver agora cada um desses limites de forma isolada!

Passo 3

Pra começar, vamos ver:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3

Note que da definição de módulo, temos:

x 3 = x 3 ,     s e   x 3 ≥ 0 - x 3 ,     s e   x 3 < 0

x 3 = x 3 ,     s e   x ≥ 0 - x 3 ,     s e   x < 0

Como nosso limite é x → - ∞ , a lei de formação que tá valendo é a segunda! Então substituímos:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ - x 3 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 = - 1

Passo 4

Agora pro segundo limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

Usando as propriedades dos limites, vemos que isso é igual a:

= lim x → - ∞ ⁡ 9 - lim x → - ∞ ⁡ 1 x 5 lim x → - ∞ ⁡ 1 + lim x → - ∞ ⁡ 1 x 3 = 9 - 0 1 + 0 = 9 = 3

Passo 5

Feshow então! O resultado vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

= lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 1 ∙ 3

= lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 3

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.g) lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 1 x 2
Ache o limite lim t → + ∞ ⁡ 2 t 2 - 4 t
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 - 2 x + 1 3 x 2 + 8 x + 5
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 6 x - 4 3 x + 1