Enunciado

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ c o t g   2 x     s e n   6 x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Eu sei que agora que você sabe a regra de L’Hospital você vai querer usar ela toda hora, mas tome cuidado, ela pode ser traiçoeira: se der, evite usá-la!!!

Passo 2

Este limite pode ser calculado facilmente sem usarmos a regra usando o limite fundamental, porém vamos optar pelo uso da regra que simplifica uma passagem!!!

Lembrando que c o t g   θ = cos ⁡ θ / s e n   θ , podemos escrever

lim x → 0 ⁡ c o t g   2 x     s e n   6 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x s e n   2 x   s e n   6 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n   6 x s e n   2 x

O primeiro limite é facilmente calculado e lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 0 = 1 . Vamos focar no segundo limite: note que ele é indeterminado do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital para o segundo limite, temos que

lim x → 0 ⁡ s e n   6 x s e n   2 x = lim x → 0 ⁡ 6 cos ⁡ 6 x 2 cos ⁡ 2 x = 6 2 = 3

Assim,

lim x → 0 ⁡ c o t g   2 x     s e n   6 x = 1 ⋅ 3 = 3

Resposta

3 .

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3   x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t g   x x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2