Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → ∞ ⁡ x 3 / 2 sen ⁡ 1 x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.

Bem, sabemos que para aplicarmos esta Regra temos que ter a seguinte estrutura no limite:

lim x → a ⁡ f x g ( x )

O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Pode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.

Escrevendo

x 3 / 2 = 1 1 / x 3 / 2

Chegamos em

lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 / x 3 / 2  

Logo, temos que

lim x → - ∞ ⁡ x 3 / 2 sen ⁡ 1 x   = lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 / x 3 / 2  

Pronto!! Já podemos verificar se a regra é aplicável ou não.

Analisando o limite acima, vemos que quando x → ∞ ,

sen ⁡ 1 x → 0

1 / x 3 / 2 → 0

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 0 , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Agora vamos encontrar este limite.

Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!

Neste método temos que

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

Vamos chamar f x = sen ⁡ 1 x e g x = 1 / x 3 / 2 . As derivadas dessas funções são

f ' x = - 1 x 2 cos ⁡ 1 x

g ' x = - 3 2 1 x 5 / 2

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → - ∞ ⁡ - 1 x 2 cos ⁡ 1 x - 3 2 1 x 5 / 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 cos ⁡ 1 x 2 3 x 5 / 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 3 x cos ⁡ 1 x

Logo, a resposta é

lim x → ∞ ⁡ x 3 / 2 sen ⁡ 1 x   = lim x → - ∞ ⁡ 2 3 x cos ⁡ 1 x = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3 / 2 sen ⁡ 1 x = ∞

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