Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2  

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2  

Parece complicado? 🤔

Nesse caso se aplicarmos o método de substituição, vamos cair em uma indeterminação 0 0 .

Portanto é necessário aplicar algum método para calcular esse limite.

A principio, como temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite e substituir o valor da variavel...

Bora lá! 😉

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = x 3 + 8 e g x = x + 2 . As derivadas dessas funções são

f ' x = 3 x 2

g ' x = 1 ≠ 0

Portanto, está dentro das condições da Regra.

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   = lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 1

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   = 3 - 2 2

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   = 12

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

O exercicio está finalizado porem podemos resolve-lo de outra maneira...

Se fatorarmos o numerador, temos

x 3 + 8 = x + 2 x 2 - 2 x + 4

Substituindo no limite, temos

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   ��� lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 2 x + 4 x + 2  

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   → lim x → - 2 ⁡ x 2 - 2 x + 4  

Assim, aplicando o limite, chegamos em

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 2 x + 4   = - 2 2 - 2 - 2 + 4  

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 2 x + 4   = 12

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x 3 + 8 x + 2   = 12

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