Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 ,         b ≠ 0

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.

Analisando o limite dado pelo enunciado, vemos que quando x → 1 ,

x a - 1 → 0

x b - 1 → 0

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 0 , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = x a - 1 e g x = x b - 1 . As derivadas dessas funções são

f ' x = a x a - 1

g ' x = b x b - 1

Em x = 1 , g ' 1 = b . Como foi dado pelo enunciado que b ≠ 0 , temos que g ' 1 ≠ 0 . Portanto, está dentro das condições da Regra.

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 = lim x → 1 ⁡ a x a - 1 b x b - 1 = a b

Resposta

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 = a b

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