Enunciado

Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.

62. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Primeiro, verificamos se a função é passível de se aplicar a regra de L’Hôpital:

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1 = ∞ ∞

Tendo como indeterminação ∞ ∞ , podemos aplicar a regra. Derivamos numerador e denominador e teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 + sin ⁡ x + x ∙ cos ⁡ x 2 x = ∄

Chegamos, no entanto, à conclusão de que aplicar L’Hôpital não os ajuda a calcular o limite. Não podemos calcular diretamente funções trigonométricas no infinito. Precisamos tentar calcular o limite de outra forma.

Passo 2

Podemos tentar calcular o limite dessa função “quebrando” a função da seguinte maneira:

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 ∙ 2 + sin ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 2 + sin ⁡ x

Da trigonometria, sabemos que o seno de um ângulo está limitado sempre entre 1 e - 1 . Escrevemos então:

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Manipulando um pouco essa inequação, somando 2 a cada termo, temos:

1 ≤ ( 2 + sin ⁡ x ) ≤ 3

Passo 3

Seguindo, multiplicamos os termos pela parte da função que falta, = x x 2 + 1 para completar a função original, da seguinte forma:

x x 2 + 1 ≤ x ( 2 + sin ⁡ x ) x 2 + 1 ≤ 3 x x 2 + 1

E pra que todo esse procedimento?

Bom, esses são os passos do conhecido Teorema do Confronto, que diz que, quando uma função f está limitada entre o valor de duas outras funções g e h , os limites de g e h , avaliados em um determinado ponto vão equivaler ao limite de f , avaliado nesse mesmo ponto.

Dessa forma, vamos calcular os limites das funções g e h , respectivamente x x 2 + 1 e 3 x x 2 + 1 , pra quando x tende a (+) infinito. Vamos ter:

l i m x → + ∞ x x 2 + 1 = l i m x → + ∞ 1 x 1 + 1 x 2 = 0

l i m x → + ∞ 3 x x 2 + 1 = l i m x → + ∞ 3 x 1 + 1 x 2 = 0

Passo 4

Concluímos então que, pelo Teorema do confronto, como f x = x ( 2 + sin ⁡ x ) x 2 + 1 está limitada entre g e h , o limite para quando x tender a (+) infinito da função f também vai valer 0 .

Essa é, então, a forma de calcular o limite da função, já que a regra de L’Hôpital não se aplica!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1 = 0

Limite não passível de se resolver por L’Hôpital.

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Calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ x 6 + 3 x 5 + 4 1 6 - x
Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1
Calcule o limite, se existir. lim x → 0 + ⁡ x x x
Calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ e x + x 2 x