Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 2 x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.

Analisando o limite dado pelo enunciado, vemos que quando x → 0 ,

tan ⁡ 3 x → 0

sen ⁡ 2 x → 0

Portanto, obtemos a forma indeterminada 0 0 e a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = tan ⁡ 3 x e g x = sen ⁡ 2 x . As derivadas dessas funções são

f ' x = 3 sec 2 ⁡ 3 x

g ' x = 2 cos ⁡ 2 x

Em x = 0 , g ' 0 = 2 ≠ 0 . Portanto, está dentro das condições da Regra.

Como forma de melhor vizualizar e facilitar nossa conta, vamos relembrar que

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 2 x   = lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 3 / cos 2 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ 3 / cos 2 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 2 x = 3 / 1 2 2 1 = 3 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 2 x   = 3 2

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