Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropiado. Se houver um método mais elementar, considere utulizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 + ⁡ x x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.

Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo 0 0 , ∞ ∞ ou 1 ∞ . Mas antes de verificar se a função cai nessa indeterminação, precisamos transformá-la em um quociente. Pra isso, vamos usar as propriedades de logaritmo, transforma a função em um produto e depois transformá-la em um quociente.

Assim, vamos derivar numerador e denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein), para fugir da indeterminação. E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função aplicado ao limite. Temos que :

y = x x

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtemos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x

⇒ ln ⁡ y = x ln ⁡ x

Assim, o limite agora pode ser expresso como:

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Agora podemos reescrever a função de modo a ser possível aplicar a Regra de l’Hôspital. Então, vamos transformar esse produto em um quociente:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 1 2 ln ⁡ x

Usando a regra da divisão de frações, temos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 2

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Beleza, agora podemos aplicar a Regra de l’Hôspital. Derivando em cima e embaixo, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 2 x - 3 2

Agora fazendo essa divisão de frações:

lim x → 0 + ⁡ 1 x ∙ - 2 x 3 2

Colocando a constante pra fora do limite:

- 2 lim x → 0 + ⁡ 1 x ∙ x 3 2

=   - 2 lim x → 0 + ⁡ x 3 2 - 1

= - 2 lim x → 0 + ⁡ x

E aplicando o limite, temos:

- 2 ∙ 0

= 0

Passo 4

Retomando a nossa função inicial e aplicando o resultado obtido ( lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = 0 )   , temos que:

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y

Aplicando a exponencial, obtemos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ y   = lim x → 0 + ⁡ x x

lim x → 0 + ⁡ x x = e 0 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

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