Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 57
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropiado. Se houver um método mais elementar, considere utulizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.
Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo , ou . Mas antes de verificar se a função cai nessa indeterminação, precisamos transformá-la em um quociente. Pra isso, vamos usar as propriedades de logaritmo, transforma a função em um produto e depois transformá-la em um quociente.
Assim, vamos derivar numerador e denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein), para fugir da indeterminação. E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.
Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função aplicado ao limite. Temos que :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtemos:
Assim, o limite agora pode ser expresso como:
Agora podemos reescrever a função de modo a ser possível aplicar a Regra de l’Hôspital. Então, vamos transformar esse produto em um quociente:
Usando a regra da divisão de frações, temos:
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Beleza, agora podemos aplicar a Regra de l’Hôspital. Derivando em cima e embaixo, temos:
Agora fazendo essa divisão de frações:
Colocando a constante pra fora do limite:
E aplicando o limite, temos:
Passo 4
Retomando a nossa função inicial e aplicando o resultado obtido (, temos que:
Aplicando a exponencial, obtemos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉