Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 1 + ⁡ x 1 1 - x  

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.

Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo 0 0 , ∞ ∞ ou 1 ∞ . Mas antes de verificar se a função cai nessa indeterminação, precisamos transformá-la em um quociente. Pra isso, vamos usar as propriedades de logaritmo, transforma a função em um produto e depois transformá-la em um quociente.

Assim, vamos derivar numerador e denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein), para fugir da indeterminação. E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função aplicado ao limite. Temos que:

y = x 1 1 - x

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtemos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 1 - x  

E aplicando a propriedade de logaritmo:

⇒ ln ⁡ y = 1 1 - x ln ⁡ x        

Assim, o limite agora pode ser expresso como:

lim x → 1 + ⁡ x 1 1 - x   = l i m x → 1 + ln ⁡ y

= l i m x → 1 + ln ⁡ x 1 - x      

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hôspital, derivando em cima e embaixo, vamos obter:

l i m x → 1 + 1 x - 1

E aplicando o limite, teremos:

= 1 1 - 1 = - 1  

Lembre-se que essa regra só pode ser aplicada em casos de indeterminações do tipo 0 0 , ∞ ∞ ou 1 ∞ e sua aplicação se resume em derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Retomando a nossa função inicial e aplicando o resultado obtido ( ln ⁡ y = - 1 ) , temos que:

x 1 1 - x   = ln ⁡ y

Aplicando a exponencial, obtemos:

ln ⁡ y = e ln ⁡ y

= e - 1

=   e - 1 = 1 e  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = x 3 g x = x 2 (a,b) = (0,2)
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = x + 5 g x = x + 3 (a,b) = (-4,-1)
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = s e n ( x ) g x = cos ⁡ x (a,b) = (0, π 2 )
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = 2 x 1 + x 2 g x = 1 - x 2 1 + x 2 (a,b) = (0,2)
Calcular o limite, caso ele exista: lim x → ∞ ⁡ s e n ( 2 x ) 1 x